\documentclass[a4paper]{article} % kodovanie diakritiky je utf-8
\usepackage{slovak}
\usepackage[utf8x]{inputenc}

\let\eps=\varepsilon % definujeme si pekne epsilon
\let\then=\Rightarrow % krok odvodenia

\def\header#1#2{% definujeme hlavicku ulohy, parametre su nazov a meno cloveka
\centerline{\Large\sc FoJa -- #1}
\medskip
\centerline{\large (#2)}
\vspace{-\baselineskip}\rightline{\today}
\bigskip\hrule\bigskip

}

\addtocounter{section}{1}
\newtheorem{veta}{Veta}[section]
\newenvironment{dokaz}{\trivlist\item[\hskip \labelsep{\bfseries Dôkaz.}]}{\endtrivlist}

\begin{document} %%%% samotny dokument zacina tu %%%%

\header{Domáca úloha \#0}{Mišo Forišek}

\begin{veta}
$\eps \not= \emptyset$.
\end{veta}

\begin{dokaz}
Jedno je (prázdne) slovo, druhé je (prázdna) množina.
\end{dokaz}

\begin{veta}
$\{\eps\} \not= \emptyset$.
\end{veta}

\begin{dokaz}
Jedno je množina obsahujúca jedno slovo (prázdne), 
druhé je prázdna množina.
\end{dokaz}

\begin{veta}
Gramatika $G=(N,T,P,\sigma)$, kde $N=\{ \sigma \}$, $T=\{ a,b \}$ a 
  \begin{eqnarray*}
    P=\{~ \sigma & \to & a\sigma b \\
          \sigma & \to & b\sigma a \\
          \sigma & \to & a ~|~ b ~|~ \eps ~\}
  \end{eqnarray*}
generuje jazyk $L=\{ w ~|~ w\in \{a,b\}^* ~\land~ w=w^R \}$.
\end{veta}

\begin{dokaz}
Indukciou dokážeme že všetky vetné formy vygenerovateľné gramatikou
$G$ sú tvaru $w\sigma w^R$, $ww^R$, $waw^R$ alebo $wbw^R$ (pre vhodné $w$).

\begin{itemize}
\item[$1^\circ$]
Počiatočný neterminál $\sigma$ je tvaru $w\sigma w^R$ (pre $w=\eps$).

\item[$2^\circ$]
Jediný typ vetnej formy obsahujúci neterminál je $w\sigma w^R$.
Ľahko nahliadneme, že ak na túto vetnú formu použijeme ľubovoľné 
pravidlo z $P$, opäť dostaneme vetnú formu jedného z vyššie uvedených tvarov.
\end{itemize}

Všetky slová z $L(G)$ sú teda tvaru $ww^R$, $waw^R$ alebo $wbw^R$ (pre vhodné $w$).
Tým sme teda dokázali, že $L(G)\subseteq L$.

Dôkaz opačnej inklúzie prenechávame čitateľovi.
\end{dokaz}

\end{document}
